1.5 Surds - 章节总结

核心要点汇总

类别	内容
定义	非完全平方数的平方根及其倍数（如\( \sqrt{2} \)、\( 3\sqrt{7} \)），属于无理数。
本质	无限不循环小数，不能表示为分数\( \frac{a}{b} \)（\( a, b \)为整数）。
运算规则	乘积：\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)（\( a, b \geq 0 \)）；商：\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)（\( a \geq 0, b > 0 \)）；加减：同类无理数（被开方数相同）可合并系数。
应用	用于表示精确结果（如几何计算、代数运算的精确值）。

化简不彻底
如\( \sqrt{12} \)只拆成\( \sqrt{4 \times 3} \)但没算出\( 2\sqrt{3} \)；
避免：彻底分解，找出所有完全平方数因子
同类无理数判断错误
误将\( \sqrt{2} \)和\( \sqrt{3} \)当成同类项合并；
避免：检查被开方数是否完全相同
展开时符号错误
如\( (a - \sqrt{b})(c + \sqrt{d}) \)展开时，负号与\( \sqrt{d} \)相乘忘记变号；
避免：仔细处理每个乘积项的符号
商法则应用错误
忽略\( b > 0 \)的条件，或拆分时分子分母处理错误（如\( \sqrt{\frac{5}{2}} \)误算成\( \frac{\sqrt{5}}{2} \)，正确为\( \frac{\sqrt{10}}{2} \)）；
避免：严格遵守条件，正确拆分分子和分母

记住"拆分-化简-合并"三步法：先拆分完全平方数因子，再化简每个因子，最后合并同类项。

乘积法则：

\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)（\( a, b \geq 0 \)）

商法则：

\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)（\( a \geq 0, b > 0 \)）

同类无理数合并：

\( p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = (p + q)\sqrt{a} \)

化简示例：

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)

熟练掌握无理数的运算，将为学习更高级的数学概念（如复数、三角函数）奠定坚实的基础。